ご指摘のとおり、経年劣化が起こっている状態です。
ワックスが硬化しており、剥離剤のみでは完全剥離はむずかしい状態と予想されます。

剥離剤の選択としては、「ユーホーニイタカ 剥離剤 中性リムーバー増粘タイプ」で大丈夫です。
木はアルカリ性・水を極端に嫌いますので、端やスキマより浸透するのを防いでくれます。水も大量に巻けませんのでご注意下さい。

剥離剤 中性リムーバー増粘タイプ 18L

私の経験で言えば、表層のわずかしか反応しないため、思った仕上がりまではいかないと思います。
特に部分、部分でへこみがある場合は、同じレベルには仕上がりません。何と言っても、20年の積み重ねの差は埋めれません。

ご使用される道具にもよりますが、ポリッシャーなどのウエイトのあるマシンで、研磨力の強いパッドを使う必要もあります。
場合によっては、洗剤は使用せずに研磨で除去する必要もあります。

機材が整っていない場合は、清掃のプロ（体育館のウレタンコーティングができる業者が望ましい）にお任せすると言うのも選択肢です。しかし状態が悪ければ、プロでも断られることもあります。

無事に剥離ができた場合、次は床材を長く保護して、美観を損なわないメンテナンス方法についても今後検討をされ
ると良いと思います。

あくまでも、経験と知識に基づく内容であり保証をする内容ではありませんので予めご了承下さい。